Teoría de la utilidad esperada

El concepto de utilidad esperada de Daniel Bernoulli fue retomado por Neumann y el economista Oskar Morgenstern (1944) . La teoría de la utilidad esperada de Neumann y Morgenstern ha sido el modelo estándar de la decisión individual en situaciones de riesgo. Esta teoría del ámbito de la economía está interesada en “qué” deciden las personas más que en “cómo” deciden. Su interés se centra en el análisis de la relación entre aquello que se decide y los valores personales que le han llevado a ella. El resultado del análisis permite entender los actos de elección como las actitudes que tiene una persona hacia el riesgo. 

Los autores proponen unos axiomas que garantizan la coherencia en el proceso de toma de decisiones. Se necesita una escala de preferencias con la que poder evaluar las opciones. La noción de utilidad es la escala de preferencias con mayor aceptación de los modelos normativos. Con esta se está asumiendo que las metas u objetivos de las personas se expresan en sus preferencias, buscando resultados acordes con los valores que se tienen. 

Se asume que los atributos de una opción son independientes y que cada uno tiene un peso o importancia. Implica ello que cada uno tiene una utilidad que indica el grado en que esa propiedad contribuye a alcanzar las metas y objetivos. Las personas conocen su entorno, son capaces de ordenar las alternativas según el criterio de utilidad y eligen la de mayor proceso de maximización. La decisión óptima será aquella que refleje sus preferencias. 

Como modelo normativo, la teoría de la utilidad esperada también presenta las siguientes ventajas: 

  • La consideración de toda la información disponible sobre las diferentes opciones. 
  • La comparación entre cualquier par de opciones dado que comparten una misma escala de preferencias. 
  • El establecimiento de una estructura de preferencias coherente a partir de la determinación de la utilidad de cada opción.

Los axiomas de la teoría de la utilidad esperada 

El trabajo de van Neumann y Morgenstern es una aproximación metodológica al estudio de la toma de decisiones bajo riesgo que ofrece un conjunto de axiomas para poder construir una escala de utilidades en la que la representación de los valores de las consecuencias se ajuste a una concepción ordinal de la utilidad. Los axiomas son principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría. Son proposiciones claras y evidentes que se admiten sin demostración, pero pueden no serlo. A veces estos axiomas pueden no ser necesariamente evidentes, pero su expresión lógica se utiliza para la deducción y así poder generar conceptos a partir de ellos.  

Savage (1954) generalizó la teoría de la utilidad esperada para permitir la inclusión de las probabilidades subjetivas basadas en las creencias propias u opiniones sobre probabilidad de los hechos. Edwards (1954) denomina a esta ampliación “el modelo de la utilidad subjetiva esperada” en un artículo que fue el primer intento de la psicología por acercarse a este dominio. Sin embargo, no es habitual hacer una distinción porque los axiomas y teoremas sistematizados de Savage cumple las leyes de la teoría de la utilidad esperada y las probabilidades subjetivas que contempla, cumplen las leyes de la probabilidad. 

AXIOMAS DE LA TEORÍA DE LA UTILIDAD ESPERADA 

  • Axioma de completitud u ordenamiento completo: (A > B); (B > A); (A ≈ B). A y B son alternativas del conjunto S, entonces siempre es cierto uno y solo uno de los siguientes enunciados:
    • A se prefiere a B
    • B se prefiere a A 
    • Se prefieren las dos, y por tanto, son indiferentes ante un conjunto de alternativas, las personas pueden ordenarlas según las preferencias asumiendo que es posible ser indiferente (A ≈ B). 

Con este axioma damos por supuesto que, ante un conjunto de alternativas, las personas pueden ordenarlas según sus preferencias (de más a menos preferidas). P. ej., Supongamos que han convocado elecciones y tenemos que elegir entre votar PP o VOX, según este axioma tendríamos 3 opciones: Votar PP, votar Vox o nos da igual votar PP o VOX. 

  • Axioma de transitividad: Si (A > B) y (B > C), entonces (A > C). Este axioma permite relacionar el orden de preferencias entre 2 alternativas a través de una tercera en común. Siguiendo el ejemplo de las elecciones si el votante prefiere votar a VOX antes que al PP, y a su vez prefiere votar al PP antes que votar Cs, según este axioma se debería votar a VOX. 
  • Axioma de cierre: si A y B son alternativas de un conjunto S, entonces ApB también lo son. La expresión ApB del axioma de cierre indica que ambas probabilidades (p y 1-p) también pertenecen al mismo conjunto S. Este axioma expresa una relación de pertenencia. Enuncia la capacidad de las personas para conceptualizar las probabilidades asociadas con las alternativas. Si A y B son alternativas de un conjunto S, entonces la probabilidad de la alternativa A (p) y la probabilidad de la alternativa B (p-1) también forman parte de ese conjunto. En el ejemplo de las elecciones tanto VOX (P) como el PP (P-1) forman parte del mismo conjunto (neoliberalismo). 

  • Axioma de reductibilidad: [(ApB)qA´]≈(ApqB)]. Este axioma introduce la distribución de probabilidades entre alternativas para poder descomponer una alternativa compuesta en una simple. Alguna de sus consecuencias es también una alternativa. Las reglas de la probabilidad permiten reducir toda alternativa compuesta a una simple que sea equivalente. Supongamos que en el ejemplo de las elecciones existe una probabilidad del 75% de votar VOX (alternativa A) y de un 25% de votar PP (alternativa B). A su vez la probabilidad de que VOX privatice la sanidad pública es del 80%, y un 20% de que no lo haga. 
  • Axioma de consistencia: (A > B) si y solo si A > (ApB) > B. Este axioma es básico y nos indica que si la alternativa A se prefiere a B, entonces la A se prefiere siempre que se presente con cierta probabilidad. Siguiendo con las elecciones, si preferimos VOX al PP (A>B), entonces también preferimos cualquier alternativa que permita que VOX tenga poder, en este caso se preferiría la opción VOX y PP, antes que PP en solitario. 
  • Axioma de independencia: (A > B) si y solo si (ApC) > (BpC). El orden de preferencias entre dos alternativas simples no cambia por la adición de una nueva alternativa. P. ej., si preferimos VOX al PP (A > B) como opción política, entonces deberíamos preferir una alternativa compuesta por VOX y Cs (ApC) frente a otra compuesta por el PP y Cs. (BpC). 
  • Axioma de continuidad: Si (A>B>C), entonces existe una probabilidad p tal que B ≈ (ApC). Este axioma es importante para la construcción de la escala de utilidad porque asume que habrá un valor entre 0 y 1 que permite que la persona sea indiferente. Siguiendo con el ejemplo de las elecciones si VOX (A) es preferido al PP (B) y el PP (B) es preferido a Cs (C), entonces siempre es posible encontrar una probabilidad p para que la alternativa PP sea equivalente a la combinación de la probabilidad p de VOX con la probabilidad 1–p de Cs (VOX p Cs). Con esto se asegura que no haya una alternativa mejor o peor a las otras y se puede localizar en la escala la opción B entre A y C. 

Cuando se cumplen estos axiomas la función de utilidad establece lo siguiente: 

  • (x) se prefiere a (y) si y solo si la utilidad de (x) es mayor o igual a (y). [U(x)≥U(y)] 
  • La utilidad de una alternativa es igual a la utilidad de cada resultado ponderada por su probabilidad: [U (x1p1….xnpn) = p1u(x1) + p2u(x2) + …….. pnu(xn)] 

A partir de estas dos propiedades se puede construir la curva de la función de utilidad. Supongamos que tenemos que elegir entre 2 alternativas: 

  • OPCIÓN A: una ganancia segura de 240 euros. 
  • OPCIÓN B: un 25% de probabilidades de ganar 1000 euros y un 75 % de ganar 0 euros. 

Si eligen la opción A, sabemos que han asignado una utilidad mayor al valor esperado de 240 euros que al valor esperado de 250 euros, lo que es compatible con una persona con aversión al riesgo. Calculamos: 

U(B)=0.25 U (1000€) + 0.75 U(0€) = 250€ 

U(A)= U(240€) 

U(A)>U(B) 

Si la utilidad esperada fuera proporcional a la cantidad del valor esperado, sería lineal y representaría una actitud neutral hacia el riesgo. La utilidad B, U(B) sería = U(A). 

También encontramos personas que presentan preferencia por el riesgo al elegir situaciones con mayor riesgo por una mayor cantidad de dinero de menor riesgo y menor cantidad de dinero. Supongamos las opciones son otras: 

  • OPCIÓN A: una ganancia segura de 260 euros. 
  • OPCIÓN B: un 25% de probabilidades de ganar 1000 euros y un 75 % de ganar 0 euros. 

U(B) 0.25 U(1000€) + 0,75 U(0€) = 250 euros 

U(A) = U(260€) 

U(B)>U(A)  

Esta utilidad describe las preferencias de un sujeto y los axiomas imponen las restricciones sobre sus posibles relaciones, aunque no determinen cuáles son estas transferencias. Esta teoría proponía que para ser racionales en la toma de decisiones no hacía falta compartir la misma función de utilidad, sino que bastaba con ajustarse a los mismos axiomas normativos en esa búsqueda por alcanzar la máxima utilidad esperada que había sido definida individualmente. 

Objeciones a la teoría de la utilidad esperada 

Los axiomas anteriores fueron objeto de críticas entre las que destacan las conocidas como paradojas de Allais (1953) y Ellsberg (1961). Estas paradojas indicaban como se podían violar algunas de las restricciones impuestas, cuestionando así el concepto de racionalidad subyacente de la teoría. 

La paradoja formulada por Allais se centra en la violación del axioma de independencia. Si una alternativa A se prefiere a B, entonces cualquier combinación de A y C con una probabilidad determinada debe ser preferida a otra combinación de B con C con la misma probabilidad. Allais describió dos situaciones: 

Primera situación: 

Alternativa A: ganar 1 millón de euros con la probabilidad 1 (con total certeza).

Alternativa B: ganar 2,5 millones con la probabilidad de 0,10. ganar 1 millón con la probabilidad de 0,89, o ganar 0 euros con probabilidad de 0,01. 

En esta primera la mayoría opta por la alternativa A en la que se gana 1 millón con certeza. Para hacer el cálculo de la utilidad esperada entre ambas alternativas se considera la ganancia de 1 millón eliminando la probabilidad de la misma de la alternativa B y conservando la probabilidad restante en la alternativa A (1 – 0,89=0,11). Las alternativas quedarían de la siguiente forma: 

Alternativa A: ganar 1 millón con probabilidad de 0,11 

Alternativa B: ganar 2,5 millones con probabilidad de 0,10 y ganar 0 euros con probabilidad de 0,01 

Elegir la opción A implica que la utilidad U(A) 0,11 es mayor que la utilidad de la alternativa B , donde U(B) 0,25. 

U(A)0.11>U(B)0.25 

U(A)=0.11 U(1 millón)=0,11 

U(B)=0.10 U(2.5 millones)+0,01U(0€)=0.25 

La paradoja se plantea cuando se presenta la segunda situación en la que las dos alternativas comparten una ganancia de 0 euros. 

Segunda situación: 

Alternativa C: ganar 1 millón con la probabilidad de 0.11; ganar 0 euros con probabilidad de 0.89 

Alternativa D: ganar 2,5 millones con probabilidad de 0.10 ganar 0 euros con probabilidad de 0.90 

Considerando la ganancia común de 0 euros en C y conservando la probabilidad restante en la alternativa D (0.90 – 0.89 = 0.01) la situación sería: 

Alternativa C: ganar 1 millón con probabilidad de 0.11. 

Alternativa D: ganar 2.5 millones con probabilidad de 0.10 ganar 0 euros con probabilidad de 0.01.

La mayoría de las personas prefieren la alternativa D inicialmente. Implica que U(C) 0.11 es menor que la utilidad de la alternativa D, U(D) 0,25. 

U(C) 0.11 < U(D) 0.25 

U(C) = 0.11 U(1 millón)= 0.11 

U(D) = 0.1 o U(2.5 millones)+ 0.01 U(0 €) = 0.25 

Savage (1954) hace un análisis de la paradoja de Allais ampliando el axioma de independencia con el principio denominado aspecto cierto (sure-thing). Este principio afirma que, si dos alternativas comparten un resultado concreto, la preferencia será independiente del valor de este resultado común. Las personas descartan el resultado seguro y basarán su elección en los posibles resultados diferentes entre alternativas. Como se puede ver, la alternativa A se ha colocado en todas las casillas porque ofrece una ganancia segura en todos los rangos de probabilidad. Al comparar las casillas entre las alternativas A y B encontramos que el aspecto seguro se encuentra en la ganancia de 1 millón€ con una probabilidad 0.89 (tercera casilla). Por tanto, este resultado se descartará y la decisión entre las alternativas A y B se centrará en elegir entre la probabilidad 0.01 de ganar 1 millón€ ó 0€ y la probabilidad 0.10 de ganar 1 millón€ ó 2.5 millones€. 

Para las alternativas C y D, el aspecto seguro se encuentra en la casilla de la ganancia de 0€ con una probabilidad de 0.89. La ganancia de 0€ también se ha colocado en la casilla con una probabilidad de 0.01 para completar la probabilidad de 0.90 de la alternativa D (0.89 + 0.01 = 0.90). En la alternativa C, la ganancia de 1 millón€ con probabilidad 0.11 se ha colocado en las casillas con probabilidades de 0.01 y 0.1 O (0.01 + 0.1 O = 0.11). Cuando se descarta el aspecto cierto entre las alternativas C y D se puede comprobar que la decisión sigue siendo elegir entre la probabilidad 0.01 de ganar 1 millón€ ó 0€ y la probabilidad 0.1 O de ganar 1 millón€ ó 2.5 millones€. 

La elección de las alternativas A y D contradice la coherencia del orden de preferencias. Es opuesta dependiendo de cómo se presente el problema, lo que contradice el principio descrito por la teoría de la utilidad. En la primera situación, se prefiere la opción A con ganancia segura menor que en B en la que existe una probabilidad aún pequeña de quedarse sin nada. En la segunda situación, la pequeña diferencia existente entre probabilidades de las dos alternativas queda compensada por la gran diferencia entre ganancias. 

La segunda paradoja planteada por Ellsberg (1961) se basa en el concepto de ambigüedad . Se ex- traen bolas de colores. 90 bolas: 30 rojas, 60 negras y amarillas en proporción desconocida. La extracción al azar supone ganancia distinta en función del color. Se presentan dos situaciones:  

La mayoría prefiere la opción A en la primera situación y la D en la segunda. La elección indica la preferencia por ganancias con probabilidades conocidas, evitando la ambigüedad de la probabilidad de obtener una bola negra o amarilla. También violan el axioma de independencia. El aspecto cierto entre las alternativas se encuentra en las bolas amarillas. 

Por tanto, la teoría de la utilidad esperada se ha descartado como modelo normativo válido de la toma de decisiones. Se puede considerar que es una guía prescriptiva adecuada o un buen criterio para el hombre racional, pero no un modelo descriptivo de decisiones. Analiza cómo debería de ser una decisión correcta, para una correcta planificación, inversión o estrategias políticas, pero no es buena descripción de las elecciones de las personas en su vida diaria. 

Referencias 

  • RESUMEN M. GORETTI GONZÁLEZ
  • GONZÁLEZ LABRA, M., SÁNCHEZ BALMASEDA, P., & ORENES CASANOVA, I. (2019). PSICOLOGÍA DEL PENSAMIENTO. MADRID: SANZ Y TORRES.

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